Schéma Bairette Pour Linversion De Quantificateurs

Un situation qui pue le Baire est la suivante : on veut passer d'une propriété du type {$\forall x \in X, \ \ \exists d \in D, \ \ P_d(x)$} à la propriété {$\exists d \in D, \ \ \forall x \in X, \ \ P_d(x)$} où {$D$} est une partie dénombrable. Autrement dit, on veut rendre le {$d$} indépendant du point {$x$}.

Souvent, c'est le même schéma de preuve qui fait marcher le truc, voici une esquisse simple :

1. On pose {$F_d = \{ x \in X | P_d(x) \}$}
2. Avec un peu de chance (ou en forçant le destin) {$X$} est un espace métrique complet et {$F_d$} y est fermé (la propriété {$P_d$} met en jeu des fonctions continues par exemple) donc on peut appliquer le lemme de Baire puisque {$X = \bigcup_{d \in D}F_d$} est ouvert et non-vide, donc d'intérieur non-vide. Donc l'un des {$F_d$} est d'intérieur non vide (on crée une brèche).
3. Reste à étaler la brèche sur l'espace entier :
   • souvent au moyen d'homogénéité :
     • lorsque les {$F_d$} sont des sous espaces vectoriels du Banach {$X$} :
       • Endomorphismes nilpotents dans un espace de Banach
       • Caractérisation des Diracs
       • Théorème de Banach-Steinhaus
     • ...
   • grace à un argument de connexité (zeros isolés, techniques de maillage) :
     • Caractérisation des Polynômes réels

Un tel schéma de preuve est parfois appelé bairette ; c'est un peu comme une zornette, mais pour le lemme de Baire :)