Caractérisation Des Diracs

C'est un exemple de schéma bairette pour l'inversion de quantificateurs.

Version topologique (Baire)

Énoncé

Soit {$E$} l'ensemble des suites réelles bornées. Soit {$\varphi$} une forme linéaire sur {$E$} telle que

{$\forall u \in E \ \ \exists n \in \mathbb{N} \ \ \varphi (u) = u(n)$}

Alors {$\varphi$} est un Dirac :

{$ \exists n \in \mathbb{N} \ \ \forall u \in E \ \ \varphi (u) = u(n) $}

Preuve

On munit E de la norme du sup : {$||u|| = \sup_{n \in \mathbb{N}} u(n)$}.

Ainsi, {$(E, ||.||)$} est un Banach et {$\varphi$} est continue (elle est 1-lipschitzienne).

Pour tout entier {$n$}, on pose {$F_n = \{ u \in E | \varphi (u) = u(n) \}$}.

Les {$F_n$} sont fermés et recouvrent {$E$} par hypothèse.

Donc le lemme de Baire nous dit qu'il existe un entier {$N$} tel que {$F_N$} est d'intérieur non-vide.

Mais {$F_N$} est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel normé E, donc {$F_N=E$} et {$\varphi=\delta_N$}.

On là un exemple de dualite Baire-Dirichlet :

Version algébrique (Dirichlet)

Énoncé

Soit {$K$} un corps non dénombrable. Soit {$E$} l'ensemble des suites à valeurs dans {$K$}. Soit {$\varphi$} une forme {$K$}-linéaire sur {$E$} telle que

{$ \forall u \in E \ \ \exists n \in \mathbb{N} \ \ \varphi (u) = u(n)$}

Alors {$\varphi$} est un Dirac :

{$ \exists n \in \mathbb{N} \ \ \forall u \in E \ \ \varphi (u) = u(n)$}

Preuve

Comme {$K$} est infini, on commence par choisir une suite {$u$} injective.

Ainsi il y a un unique entier {$N$} tel que {$\varphi (u) = u(N)$}. On veut montrer que ce {$N$} la marche pour tous les éléments de {$E$}.

Pour pas se prendre la tête, on linéarise en posant {$u_0 = u - u(N)$}, de sorte que {$\varphi (u_0) = 0 = u_0(N)$}.

Soit maintenant {$v$} dans {$E$}.

Pour {$\lambda$} dans {$K$}, on pose {$w_{\lambda} = v + \lambda u_0 \in E$}. Ainsi, il existe un entier {$n_\lambda$} tel que {$\varphi (v) = \varphi (w_{\lambda}) = w_{\lambda}(n_\lambda)$}.

Comme {$K$} est non-dénombrable, l'application {$ \left( \begin{array}{ccc} K & \longrightarrow & \mathbb{N} \\ \lambda & \longmapsto & n_\lambda \end{array} \right) $} ne saurait être injective (tiroirs de Dirichlet), donc il existe {$\lambda \neq \lambda'$} tels que {$n_\lambda = n_{\lambda'}$}.

On a {$\varphi (v) = v(n_\lambda) + \lambda u_0(n_\lambda) = v(n_\lambda) + \lambda' u_0(n_\lambda)$} donc par différence {$(\lambda - \lambda')u_0(n_\lambda) = 0 $}. Donc {$n_\lambda = N$}.

Bilan : {$\varphi (v) = w_\lambda(N) = v(N)$}.