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Petites Parties

Être de 1re catégorie signifie être petit topologiquement.

Cet argument permet entre autres de montrer que certains objet existent :

Une "notion de petitesse" doit être stable par sous-ensemble et union dênombrable (un {$\sigma$}-ideal).

1.  Dualité avec d'autres notions de petitesse

1.1  Petit par la mesure

Il y a une dualité avec les enembles de mesure nulle. En attendant, voici une référence mythique :

  • J. C. Oxtoby, Measure and Category, Springer-Verlag, 1980, second edition.

1.2  Petit par le cardinal

Il y a une autre dualité avec des questions de dénombrement (dans un ensemble non-dénombrable, les parties dénombrables peuvent être considerées comme petites), dans ce contexte, c'est souvent le principe des tiroirs de Dirichlet qui remplace le lemme de Baire :

Là encore, on prouve à peu de frais l'existence d'objets divers (nombres transcendants par exemple).

Remarque : une version finitiste de cette approche a été mise au point par Paul Erdös : la méthode probabiliste.

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Page mise à jour le 21 December 2014 à 10h53