Sous-espaces Vectoriels Stricts

Illustration de la dualité Baire Dirichlet

Version topologique (Baire)

Énoncé

Un Banach n'est pas union dénombrable de sous-espaces vectoriels fermés stricts.

Preuve

faut pas déconner

Nécessité

{$ \mathbb{R}[X]=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{R}_{n}[X]$}

Version algébrique (Dirichlet)

Énoncé

Si {$K$} est un corps infini, un {$K$}-espace vectoriel n'est pas union finie de sous-espaces vectoriels stricts.

Preuve

On suppose :

{$K^n=F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_r$}

On peut supposer que les {$F_i$} sont des hypperplans, noyaux de formes linéaires {$f_i$}. Les {$f_i$} sont des applications polynômiales (en plusieurs variables). Le produit {$f_1 f_2\cdots f_r$} est une application polynômiale qui est nulle. Comme {$K$} est infini, on sait que l'anneau des applications polynômiales s'identifie à celui des polynômes, qui est intègre. Donc une des {$f_i$} est nulle, contradiction.

Nécessité

{$ {\mathbb{F}_{2}}^2 = \{(0,0),(0,1)\} \cup \{(0,0),(1,0)\} \cup \{(0,0),(1,1)\}$}