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Sous-espaces Vectoriels Stricts

Illustration de la dualité Baire Dirichlet

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  1.   1.  Version topologique (Baire)
    1.   1.1  Énoncé
    2.   1.2  Preuve
    3.   1.3  Nécessité
  2.   2.  Version algébrique (Dirichlet)
    1.   2.1  Énoncé
    2.   2.2  Preuve
    3.   2.3  Nécessité

1.  Version topologique (Baire)

1.1  Énoncé

Un Banach n'est pas union dénombrable de sous-espaces vectoriels fermés stricts.

1.2  Preuve

faut pas déconner

1.3  Nécessité

{$ \mathbb{R}[X]=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathbb{R}_{n}[X]$}

2.  Version algébrique (Dirichlet)

2.1  Énoncé

Si {$K$} est un corps infini, un {$K$}-espace vectoriel n'est pas union finie de sous-espaces vectoriels stricts.

2.2  Preuve

On suppose :

{$K^n=F_1\cup F_2\cup \ldots \cup F_r$}

On peut supposer que les {$F_i$} sont des hypperplans, noyaux de formes linéaires {$f_i$}. Les {$f_i$} sont des applications polynômiales (en plusieurs variables). Le produit {$f_1 f_2\cdots f_r$} est une application polynômiale qui est nulle. Comme {$K$} est infini, on sait que l'anneau des applications polynômiales s'identifie à celui des polynômes, qui est intègre. Donc une des {$f_i$} est nulle, contradiction.

2.3  Nécessité

{$ {\mathbb{F}_{2}}^2 = \{(0,0),(0,1)\} \cup \{(0,0),(1,0)\} \cup \{(0,0),(1,1)\}$}

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Page mise à jour le 15 October 2011 à 15h06