Endomorphismes Nilpotents Dans Un Espace De Banach

Énoncé

Soit {$f$} une application linéaire continue d'un Banach {$X$} dans lui même telle que {$\forall x \in X, \ \ \exists n \in \mathbb{N}, \ \ f^n(x)=0$}

Alors {$f$} est nilpotente i.e. {$\exists N \in \mathbb{N}, \ \ f^N=0$}

Preuve

Une Bairette de base :

Soit {$F_n = \{ x \in X | f^n(x)=0 \}=Ker(f^n)$}

Comme {$f$} est continue, {$F_n$} est fermé dans l'espace métrique complet {$X$} donc le lemme de Baire dit qu'un certain {$F_N$} est d'intérieur non vide comme {$X = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}F_n$} est ouvert et non vide, donc d'intérieur non-vide.

Mais {$F_N$} est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel normé {$X$}, donc {$F_N=X$}.

Nécessité

On peut remarquer que l'endomorphisme {$P \longmapsto P'$} de {$\mathbb{R}[X]$} est "ponctuellement nilpotent" sans être "uniformement nilpotent". Cette application n'est pas un contre-exemple car l'espace {$\mathbb{R}[X]$} n'est pas un espace de Banach (propriété dont une démonstration est disponible sur la page dimension d'un Banach).