Saut De Dimension Pour Les Espaces De Banach

Énoncé

Un Banach de dimension infinie à une dimension non dénombrable.

N.B. la dimension d'un espace vectoriel est le cardinal d'une de ses bases (algébriques).

Preuve

Si {$\beta = \{e_0, e_1, e_2, e_3, \dots \}$} est une base infinie dénombrable du Banach {$X$} considéré, alors {$X = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} Vect(e_0,\dots,e_n)$} peut s'écrire comme une union dénombrable de fermés d'intérieur vide. En effet, pour tout entier {$n$}, {$Vect(e_0,\dots,e_n)$} est un sous-espace vectoriel strict de {$X$} donc il est d'intérieur vide ; c'est aussi un espace vectoriel normé de dimension finie donc il est fermé dans {$X$} car complet (pour la norme induite).

Comparer avec la page sur les sous-espaces vectoriels stricts

Exemple

Il n'existe pas de norme sur {$\mathbb{R}[X]$} qui en fasse un Banach.