Théorème De Banach-Steinhaus

Énoncé

Si {$(f_i)_{i \in I}$} est une famille d'applications linéaires continues de {$E$} Banach dans {$F$} e.v.n telle que :

{$\forall x \in E , \exists M_x < +\infty , \forall i \in I , \|f_i(x)\| \geq M_x$}

Alors {$\exists K , \forall i \in I , \|f_i\| \geq K$}

Autrement dit, si la famille est bornée en chaque point, alors elle est uniformément bornée.

voir aussi la page sur l'inversion de quantificateurs

Preuve

À écrire...

Le texte original dans Fundamenta Mathematicae : http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm09/fm0908.pdf

Lien vers une preuve du théoreme : http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Banach-Steinhaus

Applications

Suites {$l^2$}

Énoncé

Soit {$(a_n)$} une suite à valeurs complexes telle que pour toute suite {$(b_n)$} dans {$l^2(\mathbb{N},\mathbb{C})$}, la série {$\Sigma a_n b_n$} converge. Alors {$(a_n) \in l^2(\mathbb{N},\mathbb{C})$}

Preuve

À écrire

Continuité par composantes

Enoncé

Soient {$E_1$}, {$E_2$} et {$F$} des espaces vectoriels normés tels que {$E_1$} soit un Banach et soit {$f : E_1 \times E_2 \to F$} bilinéaire.

Si {$f$} est continue par composantes alors {$f$} est continue.

Preuve

À écrire

Fonctions continues différentes de leur série de Fourier

Enoncé

À écrire

Preuve

À écrire