Mauvaise Vitesse De Convergence Dans Le Théorème Ergodique De Birkhoff

Le cadre

Soit {$(X,\mathcal{A},\mu)$} un espace de probabilité tel que {$\mu$} soit sans atome. On dit qu'une application mesurable {$T$} de {$X$} dans {$X$} présèrve la mesure {$\mu$} si pour toute partie mesurable {$A\in\mathcal{A}$}, on a {$\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)$}. Une telle application {$T$} est dite ergodique si toute partie {$A\in\mathcal{A}$} telle que {$T(A)=A$} est de mesure 0 ou 1.

Le théorème ergodique de Birkhoff affirme que dans ces conditions, pour toute fonction {$f\in L^1(X,\mathbb{R})$}, pour {$\mu$}-presque tout {$x$} de {$X$}, {$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(T^k(x)) \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \int_X f d\mu$}.

{$\forall f\in L^1(X,\mathbb{R}) \ \ \ \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \circ T^k \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{\mu - p.p.} \int_{X} f d\mu$}

En particulier ,

{$ \forall f\in L^1(X,\mathbb{R}) \ \ \ \forall \delta > 0 \ \ \ \lim_{n\rightarrow\infty} \mu( \{ x\in X \ ; \ |\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^k(x) - \int_X f d\mu| > \delta \} ) = 0 $}

Le résultat suivant nous dit qu'on peut toujours trouver des fonctions {$f$} telles que la vitesse de convergence dans le théorème de Birkhoff est arbitrairement lente.

Énoncé

Soit {$(b_n)$} une suite de réels positifs qui tend vers {$+\infty$}. Alors il existe une fonction {$f\in L^1(X,\mathcal{R})$} bornée par 1 telle que {$\limsup_{n\rightarrow\infty} b_n \mu( \{ x\in X \ ; \ |\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^k(x) - \int_X f d\mu| > 1/2 \} ) = +\infty$}

Preuve

Voir le cours de Thierry de la Rue pages 9-10 (ou une version plus récente pages 11-12).