La completude est une notion metrique, certes.
Mais :
- D'un coté elle est impliquée par une propriété topologique : être métrisable et compacte. Les espaces topologiques métrisables dont toutes les distances qui donnent ladite topologie sont complètes sont exactement les espaces métrisables compacts.
- De l'autre coté, elle implique une propriété topologique : tous les fermés d'un tel espace sont de Baire. On peut logiquement se demander quels sont les espaces topologiques métrisables tels qu'il existe une distance complète donnant ladite topologie. Peuvent-ils être caractérisés par une propriété du type "tous les fermés sont de Baire" (espaces que l'on peut appeler graves de Baire)? A priori, on peut construire un contre-exemple en utilisant l'axiome du choix. Peut-on s'en passer? Quelle est la complexité de tels contre-exemples? Est-ce qu'on peut obtenir de jolies choses dans cette direction en changeant le jeu d'axiomes (cf {$\beta\mathbb{N}$})?
