Les Compacts Dénombrables Sont Réels

Énoncé

Soit {$(D,d)$} un espace métrique compact dénombrable. Alors il existe une application de {$D$} dans {$\mathbb{R}$} qui est un homéomorphisme sur son image.

Preuve

Pour tout couple {$(p,q)$} dans {$D$}, on note {$O_{p,q} = \{ f\in C^0(D,\mathbb{R}) \mid f(p) \neq f(q) \}$}.

On munit {$E=C^0(D,\mathbb{R})$} de la norme du sup ce qui en fait un espace métrique complet (noter que comme {$D$} est compact, toute application continue de {$D$} dans {$\mathbb{R}$} est bornée).

Pour tout {$p$} différent de {$q$}, {$O_{p,q}$} est un ouvert de {$E$}.

Si {$p$} est différent de {$q$}, alors {$O_{p,q}$} est dense dans {$E$} : en effet, soit {$f$} dans {$E$} et soit {$\varepsilon > 0$}.

Si {$f$} est dans {$O_{p,q}$}, on a gagné, sinon on pose {$g(x) = f(x) + \varepsilon d(p,x) / diam(D)$} où {$diam(D)$} est le diamètre de {$D$}.

La fonction {$g$} est bien continue de {$D$} dans {$\mathbb{R}$}, {$\varepsilon$}-proche de {$f$} et {$g(p)$} est différent de {$g(q)$}.

Par le lemme de Baire, {$\displaystyle \bigcap_{p\neq q}O_{p,q}$} est dense dans {$E$}, en particulier non vide.

On dispose donc d'une injection continue de {$D$} dans {$R$}. Comme elle est à source compacte, c'est un homéomorphisme sur son image.