Le Tipi De Cantor

Énoncé

Il existe une partie $T$ de $\mathbb{R}^2$, non dénombrable, et un point $p$ de $T$ tels que :

• $T$ est connexe
• $T\setminus \{p \}$ est totalement discontinu

Description

On part du triadique de Cantor $K_3$ classique, à savoir les nombres de $[0,1]$ dont un des dévelopements en base 3 ne contient pas de 1 (ainsi, 0,1 est dans $K_3$ puisque son développement impropre est 0,022222... et 0,122222... aussi puisque son développement propre est 0,2). La construction par arrachage sucessif du tiers médian est aussi a considérer.

$K_3$ est la réunion de 2 parties disjointes :

• Le bord $B$ : les éléments de $K_3$ qui ont 2 développements en base 3 (cf exemples plus haut). Il est dénombrable. On peut aussi le voir comme étant la réunion des frontières des parties obtenues à chaque étape de l'arrachage du tiers médian. C'est aussi l'union des extrémités des composantes connexes (qui sont des intervalles) du complémentaire de $K_3$ dans $\mathbb{R}$.
• Le gras G : le reste, à savoir les éléments de $K_3$ qui n'ont qu'un seul développement en base 3. Cet ensemble est non dénombrable.

Autant $B$ que $G$ sont denses dans $K_3$.

Cette partie de $[0,1]$ est considérée comme une partie de $\mathbb{R}^2$ (on identifie $K_3$ a $K_3 \times \{0 \}$).

On pose $p=(1/2,1)$.

Pour tout $b$ dans $B$, on considère $T_b$ l'ensemble des éléments du segment $[b,p]$ de $\mathbb{R}^2$ dont l'ordonnée est rationnelle.

Pour tout $g$ dans $G$, on considere $T_g$ l'ensemble des éléments du segment $[g,p]$ de $\mathbb{R}^2$ dont l'ordonnée est irrationnelle.

On pose $\displaystyle T = \bigcup_{k \in K_3} T_k$

Tout comme $K_3$, $T$ est non dénombrable.

On munit $T$ de la topologie induite par celle de $\mathbb{R}^2$.

$T$ est connexe

Soient $U$ et $V$ des ouverts disjoints de $T$ tels que $T=U \cup V$.

On suppose que $p \in U$, on va montrer que $V$ est vide.

Pour $x$ dans $K_3$, on définit la hauteur de $x$ par $h(x)=sup\{ord( T_x \cap V) \}$ où $ord$ désigne l'ordonnée d'un point de $\mathbb{R}^2$.

Pour montrer que $V$ est petit, on va montrer que beaucoup de points de $K_3$ ont une hauteur nulle.

On remarque que si $g$ est dans $G$, alors $h(g)$ est rationnel car $V$ est un ouvert de $T$ (donc le sup ne peut pas être un max).

Pour $q$ dans $[0,1] \cap\mathbb{Q}$, on note $F_q = \overline{h^{-1}(q)}$, l'adhérence des points de $K_3$ dont la hauteur est $q$.

Chaque $F_q$ est d'intérieur vide dans $K_3$ car il ne rencontre pas $B$. En effet, si $b$ est un point de $B$, le point de $[b,p]$ d'ordonnée $q$ est dans $T_b$ donc il est soit dans $U$ soit dans $V$ et comme ces ensembles sont ouverts dans $T$, aucun point d'un voisinage de $b$ ne peut avoir $q$ comme hauteur.

D'après le lemme de Baire, $\displaystyle \bigcup_{b\in B} \{b\} \cup \bigcup_{q\in ]0,1]\cap\mathbb{Q}} F_q$ est d'intérieur vide dans $K_3$, et tout point $x$ de son complémentaire est de hauteur nulle de sorte que le rayon $T_x$ est inclus dans $U$.

Ainsi, $U$ est dense dans $T$ donc $V$ est vide.

Exercice : où a-t-on utilisé le fait que $p$ était dans $T$?

$T\setminus \{p \}$ est totalement discontinu

Soit $x$ un point de $T\setminus \{p\}$. Si $y$ est un point de $T\setminus \{p\}$ qui n'est pas sur le même rayon $T_k$ que $x$, alors $x$ et $y$ peuvent être séparés par une droite de $\mathbb{R}^2$ passant par $p$ et un point de $[0,1]\setminus K_3$, donc $y$ n'est pas dans la composante connexe de $x$ dans $T\setminus \{p\}$. Ainsi la composante connexe de $x$ dans $T\setminus \{p\}$ est incluse dans le rayon auquel appartient $x$. Mais ce rayon est totalement discontinu (homéomorphe à une partie de $\mathbb{Q}$ ou de $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$), donc la composante connexe de $x$ dans $T\setminus \{p\}$ est réduite à $\{x\}$ donc $T\setminus \{p\}$ est totalement discontinu.

Références

• C. Kuratowski et B. Knaster, _Sur les ensembles connexes_, Fundamenta Mathematicae, Tome 2, 1921.
• Steen et Seebach, _Counterexamples in topology_, page 145.