Le Tipi De Cantor

Énoncé

Il existe une partie {$T$} de {$\mathbb{R}^2$}, non dénombrable, et un point {$p$} de {$T$} tels que :

• {$T$} est connexe
• {$T\setminus \{p \}$} est totalement discontinu

Description

On part du triadique de Cantor {$K_3$} classique, à savoir les nombres de {$ [0,1] $} dont un des dévelopements en base 3 ne contient pas de 1 (ainsi, 0,1 est dans {$K_3$} puisque son développement impropre est 0,022222... et 0,122222... aussi puisque son développement propre est 0,2). La construction par arrachage sucessif du tiers médian est aussi a considérer.

{$K_3$} est la réunion de 2 parties disjointes :

• Le bord {$B$} : les éléments de {$K_3$} qui ont 2 développements en base 3 (cf exemples plus haut). Il est dénombrable. On peut aussi le voir comme étant la réunion des frontières des parties obtenues à chaque étape de l'arrachage du tiers médian. C'est aussi l'union des extrémités des composantes connexes (qui sont des intervalles) du complémentaire de {$K_3$} dans {$\mathbb{R}$}.
• Le gras G : le reste, à savoir les éléments de {$K_3$} qui n'ont qu'un seul développement en base 3. Cet ensemble est non dénombrable.

Autant {$B$} que {$G$} sont denses dans {$K_3$}.

Cette partie de {$ [0,1] $} est considérée comme une partie de {$\mathbb{R}^2$} (on identifie {$K_3$} a {$K_3 \times \{0 \}$}).

On pose {$p=(1/2,1)$}.

Pour tout {$b$} dans {$B$}, on considère {$T_b$} l'ensemble des éléments du segment {$ [b,p] $} de {$\mathbb{R}^2$} dont l'ordonnée est rationnelle.

Pour tout {$g$} dans {$G$}, on considere {$T_g$} l'ensemble des éléments du segment {$ [g,p] $} de {$\mathbb{R}^2$} dont l'ordonnée est irrationnelle.

On pose {$\displaystyle T = \bigcup_{k \in K_3} T_k $}

Tout comme {$K_3$}, {$T$} est non dénombrable.

On munit {$T$} de la topologie induite par celle de {$\mathbb{R}^2$}.

{$T$} est connexe

Soient {$U$} et {$V$} des ouverts disjoints de {$T$} tels que {$T=U \cup V$}.

On suppose que {$p \in U$}, on va montrer que {$V$} est vide.

Pour {$x$} dans {$K_3$}, on définit la hauteur de {$x$} par {$h(x)=sup\{ord( T_x \cap V) \}$} où {$ord$} désigne l'ordonnée d'un point de {$\mathbb{R}^2$}.

Pour montrer que {$V$} est petit, on va montrer que beaucoup de points de {$K_3$} ont une hauteur nulle.

On remarque que si {$g$} est dans {$G$}, alors {$h(g)$} est rationnel car {$V$} est un ouvert de {$T$} (donc le sup ne peut pas être un max).

Pour {$q$} dans {$ [0,1] \cap\mathbb{Q}$}, on note {$F_q = \overline{h^{-1}(q)}$}, l'adhérence des points de {$K_3$} dont la hauteur est {$q$}.

Chaque {$F_q$} est d'intérieur vide dans {$K_3$} car il ne rencontre pas {$B$}. En effet, si {$b$} est un point de {$B$}, le point de {$ [b,p] $} d'ordonnée {$q$} est dans {$T_b$} donc il est soit dans {$U$} soit dans {$V$} et comme ces ensembles sont ouverts dans {$T$}, aucun point d'un voisinage de {$b$} ne peut avoir {$q$} comme hauteur.

D'après le lemme de Baire, {$\displaystyle \bigcup_{b\in B} \{b\} \cup \bigcup_{q\in ]0,1]\cap\mathbb{Q}} F_q $} est d'intérieur vide dans {$K_3$}, et tout point {$x$} de son complémentaire est de hauteur nulle de sorte que le rayon {$T_x$} est inclus dans {$U$}.

Ainsi, {$U$} est dense dans {$T$} donc {$V$} est vide.

Exercice : où a-t-on utilisé le fait que {$p$} était dans {$T$}?

{$T\setminus \{p \}$} est totalement discontinu

Soit {$x$} un point de {$T\setminus \{p\}$}. Si {$y$} est un point de {$T\setminus \{p\}$} qui n'est pas sur le même rayon {$T_k$} que {$x$}, alors {$x$} et {$y$} peuvent être séparés par une droite de {$\mathbb{R}^2$} passant par {$p$} et un point de {$ [0,1]\setminus K_3$}, donc {$y$} n'est pas dans la composante connexe de {$x$} dans {$T\setminus \{p\}$}. Ainsi la composante connexe de {$x$} dans {$T\setminus \{p\}$} est incluse dans le rayon auquel appartient {$x$}. Mais ce rayon est totalement discontinu (homéomorphe à une partie de {$\mathbb{Q}$} ou de {$\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$}), donc la composante connexe de {$x$} dans {$T\setminus \{p\}$} est réduite à {$\{x\}$} donc {$T\setminus \{p\}$} est totalement discontinu.

Références

• C. Kuratowski et B. Knaster, _Sur les ensembles connexes_, Fundamenta Mathematicae, Tome 2, 1921.
• Steen et Seebach, _Counterexamples in topology_, page 145.