Homéomorphisme Entre Quotient Et Orbite Pour Une Action De Groupe Localement Compact

Énoncé (action transitive)

Soit {$G$} un groupe topologique localement compact et {$\sigma$}-compact. Soit {$E$} un espace topologique localement compact sur lequel {$G$} agit continuement et transitivement. Alors pour tout {$x$} de {$E$}, l'application quotient {$G/G_x\to E$} est un homéomorphisme ({$G_x$} désigne le stabilisateur de {$x$}).

Énoncé équivalent (orbite fermée)

Soit {$G$} un groupe topologique localement compact et {$\sigma$}-compact qui agit continuement sur un espace topologique localement compact {$E$}. Alors, si l'orbite {$G.x$} d'un point {$x$} de {$E$} sous {$G$} est fermée dans {$E$}, elle est homéomorphe au quotient {$G/G_x$} (par la bijection naturelle {$G/G_x\to G.x$}).

Preuve

Références

• Mneimné et Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques.