Quatre Fourmis Dans Un Plan

Probleme

On a 4 fourmis qui se baladent a vitesse constante (chaque fourmi peut aller a une vitesse differente des autres). Sachant que la fourmi 1 rencontre les fourmis 2 3 et 4 a des instants differents, que la fourmi 2 rencontre les fourmis 3 et 4 a des instants differents (et aussi la 1 forcement, on l'a deja dit), montrer que soit les fourmis 3 et 4 ont des trajectoires parallelles, soit les fourmis 3 et 4 se rencontrent.

Solution

Ben il suffit de trouver une bonne parametrisation : on sort du plan pour se mettre dans l'espace-temps, a savoir R^3. Les trajectoires des fourmis sont alors des droites mais avec l'avantage sur R^2 que deux fourmis se rencontrent si et seulement si leurs trajectoires dans cet espace s'intersectent. Lorsque 3 droites de R^3 se croisent deux a deux en des points differents, elles sont coplanaires, donc l'hypothese sur les fourmis 1 et 2 nous dit que les 4 droites considerees sont coplanaires. Si les droites 3 et 4 ne se croisent pas c'est qu'elles sont parallelles (on est dans un plan), et par projection sur R^2, les fourmis ont des trajectoires parallles.