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Théorème De Superposition De Kolmogorov

Je copie-colle mes notes prises en direct lors de l'exposé d'Aurélien, inutile de dire qu'il y a des trous.

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  1.   1.  Introduction historique
  2.   2.  Preuve dans le cas $n
    1.   2.1  Lemme d'approximation
    2.   2.2  Baire
    3.   2.3  Lemme
    4.   2.4  Itération
  3.   3.  Dimensions supérieures
  4.   4.  Version constructiviste
  5.   5.  Références

1.  Introduction historique

Y'a des fausses fonctions de 3 variables qui sont des compositions de fonctions de 2 variables.

ex : {$(x,y,z) \mapsto x+y+z = +(x,+(y,z))$}

Question : existe-t-il des fonctions de 3 variables qui ne sont pas des compositions ("superposition") de fonctions de 2 variables.

13ème pb de Hilbert : une certaine fonction de 3 variables définie implicitement (racine de {$x^7+ax^3+bx^2+cx+1$}) était tellement ignoble que Hilbert conjectura qu'on pouvait même pas l'écrire comme composée de fonctions de une ou 2 variables.

Théorème : si {$n \geq 2$}, il existe des reels {$l_1,...,l_n$} et des fonctions {$f_1,...,f_{2n+1}$} continues de {$I= [0,1] $} dans {$\mathbb{R}$} tels que pour toute fonction continue de {$I^n$} dans {$\mathbb{R}$}, il existe une fonction continue de {$\mathbb{R}$} dans {$\mathbb{R}$} tels que

{$ f(x_1, \dots,x_n )= \sum_{k=1}^{2n+1} g(l_1 f_k(x_1)+l_2f_k(x_2)+\dots+l_n f_k(x_n)) $}

En particulier, toute fonction continue de {$n$} variables est une composition de fonction de une et 2 variables, et la seule fonction de 2 variable utilisée est la loi {$+$}.

2.  Preuve dans le cas {$n=2$}

2.1  Lemme d'approximation

Soit {$f$} de {$I^2$} dans {$\mathbb{R}$} de norme 1 (norme du sup).

On peut l'approximer grossièrement par une fonction de la forme voulue.

On cherche {$f_1, ..., f_5$} continus de {$I$} dans {$\mathbb{R}$}, {$l$} dans {$\mathbb{R}$} et {$g$} contuinue de {$\mathbb{R}$} dans {$\mathbb{R}$} tels que :

  • la norme de {$g$} est {$\leq 1/7$}
  • pour tous {$x$} et {$y$} dans {$\mathbb{R}$}, {$ | f(x,y) - \sum_{k=1}^5 g(f_k(x)+l f_k(y)) | \leq c < 1 $}

Remarque : approximation de merde (le {$c$} va valoir {$7/8$} proche de 1).

Remarque : les {$f_i$} dépendent de {$f$}. C'est Baire qui va permettre d'inverser les quantificateurs.

Preuve : On va séparer les variables grâce à un argument d'irrationnalité.

Soit {$l$} irrationnel.

Si {$ [a,b] $} est un intervalle inclus dans {$I$}.

Si {$x$} est dans {$ [a,b] $}, on pose {$f(x)=q$} rationnel

Si {$(x,y)$} est dans {$ [a,b]^2 $}, {$ f(x)+lf(y)=q+lq$}

Rq : Pourquoi y'a 5 qui apparaît?

On ne contrôle que ce qui est dans {$ [a,b] $} et comme {$f$} doit être continue, faudra 5 fonctions {$f$} parce que : pour chaque variable, .......

On divise {$I$} en 5 intervalles égaux et on en retire 1.

Puis on divise {$I$} en 10 et on en retire un tout les 5.

Précisément, on considère les intervalles de la forme {$ [s/N, s+1/N] $} et on va retirer les intérieurs de ceux tels que {$ s = i \mod 5$}.

Pour {$i \leq 5$}, on note {$I_i$} ce qui reste et on appelle les composantes connexes de {$I_i$} les intervalles "rouges" (ça dépend de {$N$}).

Si {$N$} est assez grand, on choisit des fonction {$f_i$} qui vérifient

  • {$f_i$} est constante égale à un rationnel sur chaque intervalle rouge
  • entre 2 intervalles rouges, elle se démerde pour être continue (par exemple avec un prolongement affine)
  • les divers rationnels {$q$} mis en jeu sont tous différents (pour chaque intervalle rouge de chaque {$I_i$})

On appelle rectangle rouge tout produit de 2 intervalles rouges pour le même {$I_i$}.

On les note {$R_{i,r}$} (les composantes connexes de {$I_i \times I_i$}).

On dit que {$i$} est le rang de {$R_{i,r}$}.

On pose {$ F_i(x,y) = f_i(x)+l f_i(y)$}

{$F_i$} est constante sur tous les rectangles rouges et toutes les valeurs prises sont différentes (car {$l$} est irrationnel). On note {$F_i(R_{i,r})$} la valeur en question.

Par uniforme continuité de {$f$} continue sur le compact {$I \times I$}, on peut supposer que {$ |f(x,y) - f(x',y')| \leq 1/7$} si {$ d((x,y),(x',y'))^2 < 32 / N^2 $}.

On définit {$g$} par :

  • si {$f(x,y)>0$} sur {$R_{i,r}$}, on pose {$g(F_i(R_{i,r}))=1/7$}
  • Si {$f(x,y)<0$} sur {$R_{i,r}$}, on pose {$g(F_i(R_{i,r}))=-1/7$}
  • ailleurs on la laisse se démerder pour être continue et à valeurs dans {$ [-1/7, 1/7] $}

C'est bien défini car les valeurs F_i(R_{i,r}) sont toutes différentes.

Vérification :

{$ |f(x,y)- \sum_{k=1}^5 g(f_k(x)+l f_k(y)) | < 7/8 | $}

Par exemple, si {$f(x,y)>1/7$}, {$f(x,y)>0$} sur tout rectangle rouge contenant {$(x,y)$} et {$ |f(x,y) - somme | \leq 1-3/7+2/7 < 7/8$}.

2.2  Baire

En fait on a montre que, en notant {$U_f$} l'ensemble des {$(f_1,...,f_5)$} tels que le lemme marche est un ouvert dense de {$C^0(I,\mathbb{R})^5$}

Problème : on veut une intersection dénombrable.

La sphère unité de {$C^0(I^2,\mathbb{R})$} est séparable donc il existe une suite {$(h_n)$} dans cette sphère.

L'intersection des U_hn est dense par Baire donc non vide, on prend un élement {$(f_1,...f_5)$} qu'est dedans.

2.3  Lemme

Il existe {$f1,...f5$} continues de {$I$} dans {$\mathbb{R}$} telles que pour toute {$f$} continue de {$I^2$} dans {$\mathbb{R}$}, il existe {$g$} continue de {$\mathbb{R}$} dans {$\mathbb{R}$} telle que :

  • {$||g|| \leq 1/7 ||f||$}
  • {$||f - somme|| \leq 8/9 ||f||$}

On fixe les {$(f_1,...f_5)$}

2.4  Itération

Soit {$f$} continue de {$I^2$} dans {$\mathbb{R}$}. On pose

  • {$f_0 = f$}
  • {$ f_{n+1} = f_n - \sum_{i=1}^5 g_n \circ \phi_i $}

La somme des {$g_n$} associés aux {$f_n$} converge (géométrique, majoration à écrire) vers une fonction notée {$g$} et

{$ f= \sum_{j=0}^{\infty} (f_j-f_{j+1}) = \sum_{j=0}^{\infty} (\sum_{i=1}^5 g_n \circ \phi_i) = \sum_{i=1}^5 g \circ \phi_i $}

3.  Dimensions supérieures

Ce qui va jouer le rôle de l'irrationnel {$l$}, sera un n-uplet {$(l_1,...,l_n)$} libre sur {$\mathbb{Q}$};

4.  Version constructiviste

http://cca-net.de/vasco/publications/kolmogorov.html

5.  Références

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Page mise à jour le 15 October 2011 à 14h15